Some spectral methods with applications for the numerical solutions of partial differential equations

Abstract

This thesis examines how some classes of partial differential equations are solved numerically by using a set of spectral methods, namely Spectral Collocation method and Spectral Galerkin method. It begins with a brief reminder about orthogonal polynomials and fundamentals of partial differential equations. Then, the description of the considered spectral methods are given in the following part of the thesis. The use of spectral methods for solving real-world problems which are modelled by partial differential equations, is given through some illustrative examples which appears in different fields of science and engineering. Therefore, the usability, efficiency and the importance of the studied spectral methods are emphasized. In these recently studied representative examples, which are reviewed from various application areas, some new and very performant mathematical tools were involved, namely fractional differential operators. The obtained numerical results from the mentioned spectral methods were presented through simulations with a comparative study by some other numerical methods in the literature.

Bu tezde, kısmi türevli denklemlerin bazı sınıflarının bir dizi spektral yöntemler kullanılarak nasıl sayısal olarak çözüldüğü incelenmiştir. Bu yöntemler sırasıyla; spektral sıralama yöntemi ve spektral galerkin yöntemidir. İlk olarak, ortogonal polinomlar ve kısmi türevli denklemlerin temelleri hakkında kısa bir hatırlatma yapılmıştır. Tezin bir sonraki kısmında, ele alınan spektral yöntemlerin tanımlamaları verilmiştir. Bilim ve mühendisliğin farklı alanlarında ortaya çıkan ve kısmi türevli denklemlerle modellenebilen gerçek dünya problemlerinin çözümünde, spektral yöntemlerin kullanımı ve önemi açıklayıcı örnekler kullanılarak verilmiştir. Böylelikle, çalışılan spektral yöntemlerin kullanımı, verimi ve önemi vurgulanmıştır. Çeşitli uygulama alanlarından derlenen ve yakın zamanda çalışılan bu önemli örneklerde, kesirli türevli operatörler olarak adlandırılan yeni ve çok kullanışlı matematiksel araçlar dahil edilmiştir. Bahsi geçen spektral yöntemlerin kullanımından elde edilmiş olan sayısal sonuçlar grafiklerle verilmiş, literatürdeki diğer bazı sayısal yöntemlerle yapılan karşılaştırılması sunulmuştur.