Fractional Dynamical Models and Their Applications (Kesirli Dinamik Modeller ve Uygulamaları)

Abstract

Bu proje, kabul edilen “Fractional-order systems; analysis, synthesis and their importance for future design (FRACTAL)” başlıklı ve “MoU: OC-2015-2-20318” proje öneri nolu 03.10.2016-02.10.2020 periyodu için kabul edilmiş COST Projesi araştırmacılarından biri olan D.B.’nin orjinal katkısını (lokal çalışma grubu ile birlikte) tanımlayan bir projedir. Bu proje, gerçek dünya sistemlerinin karmaşık dinamiklerinin modellemesinde yeni analitik ve sayısal yöntemler ve de teknikler bulmaya yoğunlaşmış kesirli dinamiğin alanlarında üst düzey uluslararası uzmanlarını bir araya getirmektedir. Doğada pek çok doğrusal olmayan fenomenler ayrık karakteristik davranışını göstermektedir, dolayısıyla deneysel verilerden direk olarak daha iyi bir parametre tanımlamasının ve tahmininin yapılabilmesi için ayrık modeller kullanılabilir. Son zamanlarda kesirli kalkülüs camiası, birkaç kesirli türevin (özellikle, Caputo kesirli türevi) biyoloji, fizik, kimya, ekonomi, finanstaki çok farklı olayların ve sistemlerin bellek koruma özelliklerini iyi temsil etmede yeterli olmasının oldukça garip göründüğünü düşünmeye başladılar. Bu nedenle, tekil çekirdek fonksiyonu olmayan yeni kesirli türevler icat edilmeli ve yeni kesirli modeller bilim ve mühendislikteki karmaşık sistemlerin dinamiklerini daha iyi açıklamak için ele alınmalıdır. Tekil olmayan çekirdeğe sahip olan yeni kesirli türevler dahilinde ve kontrol tekniklerinin yardımı ile genelleştirilmiş kesirli tümör modeli önererek kanser tedavisi için ilaç tedavileri tasarlamak sorununa katkıda bulunacağız. Böyle gelişmiş bir modelin sayısal çözümü için daha doğru ve etkili sonuçlar elde etmek üzere yeni sayısal yaklaşımların geliştirilmesi ele alınacaktır. Ayrıca, yeni kesirli varyasyonel ilkeler bu yeni türevin içinde elde edilecek ve bu biyoloji, fizik ve mekanik sistemlerde ortaya çıkan kesirli optimal kontrol problemlerine uygulanacaktır. Güçlü bir araç olan yeni ayrık kesirli kalkülüs anormal difüzyon probleminin ayrık modellemesini tanımlamak için kullanılacaktır. Ayrık kesirli model klasik fark denkleminin bir kesirleştirilmesi olduğundan klasik kesirli kısmi diferansiyel denklemler ile karşılaştırıldığında rastgele veya ayrık olayları tasvir etmede daha uygun olabilir. Bu projenin sonuçları, anormal difüzyon denklemi ve kesirli tümör modellerinin kararlılığı içinde beliren bilinmeyen olguların daha iyi aydınlatılmasında katkıda bulunacaktır. Kesirli diferansiyel denklemler ve kesirli ayrık denklemleri çözmek için yeni bir yazılım temin edilecektir.

This project describes the original contributions of one of the researchers (D.B.) of the accepted COST Project titled “Fractional-order systems; analysis, synthesis and their importance for future design” with the proposal reference “MoU: OC-2015-2-20318” that is approved for the period 03.10.2016-02.10.2020. This project brings together top international specialists in the fields of fractional dynamics focusing on finding new analytical and numerical methods as well as techniques to model the complexity of the dynamics of some real-world systems. Many nonlinear phenomena in nature possess the discrete characteristics; therefore, the discrete models can be used for better parameter identification directly from experimental data. Recently, the fractional calculus community started to think that it seems quite strange that few fractional derivatives (particularly, Caputo fractional derivative) are adequately representatives of the memory formalisms of some many very different phenomena and materials, in biology, physics, chemistry, economy and finance. Therefore, new fractional derivatives without singular kernel should be invented and new fractional models should be elaborated to describe better the dynamics of complex systems from science and engineering. By proposing a generalized fractional tumor model within the new fractional derivatives possessing non-singular kernel, and with the help of the control techniques we will contribute to the problem of designing drug therapies for the cancer treatment. The numerical solution of such an advanced model will be studied by developing new numerical approaches to get more accurate and efficient results. Besides, new fractional variational principles will be obtained within this new derivative and it will be applied to fractional optimal control problems arising in biology, physics and mechanical systems. The powerful tool of the new discrete fractional calculus will be used to describe to discrete modeling of anomalous diffusion problem. Since the discrete fractional model is a fractionization of the classical difference equation it can be more suitable to depict the random or discrete phenomena compared with the classical fractional partial differential equations. The results of this project will contribute better to elucidate the unknown phenomena that appear within the anomalous diffusion equation and the stability of the fractional tumor models. New software for solving fractional differential equations and fractional discrete equations will be provided.